Tȇn đề tài: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với hệ số bị nhiễu
Ngành: Toán áng dụng
Mǎ số ngành: 9460112
Họ tȇn nghiȇn cứu sinh: Lưu Xuân Thắng
Khóa đào tạo: 2020 – 2023
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đặng Đức Trọng
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiȇn, ĐHQG. HCM
Tóm tắt nội dung luận án:
Luận án khảo sát bài toán Cauchy cho phmơng trình elliptic có dạng như sau. Giả sủ rằng Ω là một miền bị chặn của RN với biên trơn và hằng số Y > 0, tìm một hàm u : Ω x [0, Y ] → R sao cho
−c(y)Au(x, y) + uyy(x, y) = F, x thuộc Ω, 0 < y < Y, (1)
u(x, 0) = g1(x), uy(x, 0) = g2(x), x thuộc Ω, (2)
với g1, g2 thuộc L2(Ω) cho trước, và F là hàm phụ thuộc vào x, y và có thể là u(x, y); những hàm này thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
Trong bài toán trȇn, hệ số c : [0, Y ] → (0, ∞) bị nhiễu và chỉ biết rằng nó được xấp xỉ bởi hàm do được µ : [0, Y ] → (0, ∞). Thȇm nữa, ta giả sử
sup_{0≤y≤Y}=|c(y)-μ(y)|+|dc/dy (y)-dμ/dy (y)|+|(d^2 c)/(d^2 y) (y)-(d^2 μ)/(d^2 y) (y)|≤δ, với số δ > 0 là sai số do đo đạc. Thȇm nữa, các dữ liệu g1, g2 có thể cũng bị nhiễu. Bài toán (1)-(2) là khȏng chỉnh với hệ số và các dữ liệu đầu chưa biết một cách chính xác. Luận án tập trung trung khảo sát các vấn dề sau đȃy.
Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán khi xét trong khȏng gian phù hợp.
Lựa chọn phmơng pháp chỉnh hóa phù hợp và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác của bài toán.
Những kết quả mới của luận án:
Dựa vào các cȏng cụ của giải tích thực, phương trình đạo hàm riêng và bài toán ngược luận án đã
Sử dụng biến đổi Liouville để đưa bài toán từ hệ số biến về bài toán hệ số hằng.
Lần lượt sử dụng các khȏng gian phù hợp để khảo sát sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán.
Sử dụng các phương pháp hàm lọc và chặt cụt Fourier đưa ra nghiệm chỉnh hóa. Sau đó, sử dụng các ước lượng để khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác.
Cuối cùng, đưa ra ví dụ và kết quả số để minh họa kết quả lý thuyết.
Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với hệ số hằng có ứng dụng nhiều trong thực tế thuộc các lĩnh vực như vật lý địa cầu, cơ học chất lỏng, chẫn đoán tim mạch, trường điện sinh và kiểm định khȏng xȃm lấn. Hơn nữa, khi khảo sát bài toán này với hệ số chứa biến và có nhiễu thì kỹ thuật sử dụng có thể thực hiện cho một số lớp bài toán mở rộng từ hệ số hằng sang hệ số chứa biến.
Một số vấn đề của bài toán có thể được khảo sát trong thời gian tới:
Khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng đạo hàm bậc phân thứ.
Khảo sát bài toán tmơng tự cho phương trình sóng và sóng bậc phȃn thứ.
Hãy là người bình luận đầu tiên