Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng - NCS. Nguyễn Thị Mộng Tuyền

Tên đề tài luận án: Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số ngành: 9460104
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thị Mộng Tuyền
Khóa đào tạo: 2018
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Anh Vũ, TS. Trịnh Thanh Đèo
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Luận án nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiều không lũy linh bậc hai với ideal dẫn xuất 2-chiều và phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều là g¬¬5,2 và g¬¬5,2 (theo kí hiệu của Dixmier).  Từ kết quả đó, mô tả bức tranh các quỹ đạo trong biểu diễn đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie 7-chiều đang xét. Sau đó, chứng minh mỗi họ các K-quỹ đạo chiều cực đại ở vị trí tổng quát (K-quỹ đạo tổng quát) đang xét hình thành một phân lá đo được theo nghĩa của Connes và đưa ra phân loại tôpô của tất cả các phân lá thu được, đồng thời, mô tả C*-đại số Connes của chúng.
2. Những kết quả mới của luận án:
a.  Kết quả liên quan đến bài toán phân loại các đại số Lie giải được:
- Phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiều (n≥3) không lũy linh bậc 2 với ideal dẫn xuất 2-chiều.
- Phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều là g¬¬5,2 = span{X1, X2, X3, X4, X5: [X1, X2]= X4, [X1, X3]= X5} và g¬¬5,4 = span{X1, X2, X3, X4, X5: [X1, X2]= X3, [X1, X3]= X4, [X1, X4]= X5} (theo kí hiệu của Dixmier).
b.  Kết quả liên quan đến tính chất hình học các K-quỹ đạo chiều cực đại của nhóm Lie giải được:
- Mô tả bức tranh các quỹ đạo đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie giải được 7-chiều đã được    phân loại.
- Đối với mỗi nhóm Lie được xét, chứng minh được rằng mỗi họ K-quỹ đạo tổng quát tạo thành một phân lá đo được (theo nghĩa của Connes), đồng thời, phân loại tôpô của tất cả các phân lá thu được và mô tả không gian lá của chúng. Cuối cùng, mô tả C*-đại số Connes của các kiểu phân lá nhận được.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
- Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie giải được 7-chiều còn lại. Xét xem họ các K-quỹ đạo này có hình thành nên một phân lá đo được theo nghĩa của Connes hay không?
- Các kết quả và cách tiếp cận trong luận án có thể được sử dụng vào nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thuộc lớp Lie(n,k), (k≥3).