Tên đề tài luận án: Về tập iđêan nguyên tố liên kết và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thành Nam
Khóa đào tạo: Năm 2014-2017
Người hướng dẫn khoa học:
Hướng dẫn chính: PGS. TS. Trần Tuấn Nam
Hướng dẫn phụ: TS. Nguyễn Viết Đông
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án
Mục đích của luận án là nghiên cứu một số tính chất của các môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Trong đó, chúng tôi nghiên cứu về tính minimax, (I,M)-cominimax và tính Artin của các đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (I,J). Chúng tôi cũng mở rộng nghiên cứu về các môđun suy rộng cực đại. Một số kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các đối đồng điều địa phương như giả thuyết của Grothendieck và những vấn đề được đặt ra của Huneke sẽ được trình bày. Luận án giới thiệu nội dung về môđun (I,J)-coweakly Laskerian và nghiên cứu các tính chất của chúng liên quan đến các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên cứu một số tính chất của các môđun đối đồng điều địa phương và những mối liên hệ giữa tính Artin yếu của các môđun
2. Những kết quả mới của luận án
i) Cho M là R-môđun và n là số nguyên không âm sao cho là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi i < n. Nếu là J-Lasker yếu thì là J -Lasker yếu. Giả sử và là J -Lasker yếu thì là J -Lasker yếu nếu và chỉ nếu là J -Lasker yếu.
ii) Nếu là R-môđun J -Lasker yếu với mọi và n là số nguyên không âm sao cho là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi thì là (I,J)-đối Lasker yếu. Nếu là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi i < n và là J-Lasker yếu thì là J -Lasker yếu.
iii) Nếu là vành địa phương và t là số nguyên không âm sao cho với mọi thì Khi đó là Artin với mọi nếu M là hữu hạn sinh và
iv) Ta có điều kiện tương đương về tính Artin của và khi Điều này cũng được trình bày tương tự đối với môđun đối đồng điều có đỉnh lớn nhất khi M là Lasker yếu. Khi đó là hữu hạn.
v) Chúng tôi chứng minh rằng là Artin yếu nếu M là Lasker yếu với Hơn nữa, nếu là vành địa phương thì là Artin hoặc là hữu hạn. Một sự liên hệ giữa tính Artin yếu của và cũng được chúng tôi trình bày.
vi) Nếu N là R-môđun minimax thì là R-môđun Artin, với và Từ đây ta có với điều kiện Trong trường hợp là vành địa phương và N là R-môđun minimax, chúng tôi chứng minh rằng là Artin.
vii) Trong trường hợp là vành địa phương, là Artin với mọi nếu và chỉ nếu là Artin với mọi
viii) Nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý và t là số nguyên không âm sao cho là minimax với mọi thì là minimax với mọi Nếu là minimax với mọi thì là minimax. Nếu N là minimax thì cũng là minimax.
ix) Chúng tôi cũng chứng minh rằng là minimax và là (I,M)-cominimax với mọi và là minimax.
x) Nếu t là số nguyên không âm sao cho và là Lasker yếu với mọi và k = 0 hoặc k = 1 thì là Lasker yếu.
xi) Một kết quả khác mà ta có được là và là hữu hạn. Hơn nữa, tập cũng là hữu hạn.
xii) Nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý và t là số nguyên không âm sao cho là hữu hạn với mọi thì là hữu hạn với mọi Nếu N là Lasker yếu thì là hữu hạn. Hơn nữa, là hữu hạn.
xiii) là vành địa phương, M, N là hữu hạn sinh và thì thỏa mãn:
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Luận án đã đưa ra những kết quả mới về tập iđêan nguyên tố liên kết, gắn kết và các mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Những kết quả này là sự bổ sung cần thiết và mở rộng những kết quả đã có của các nhà toán học nổi tiếng như Rotman, Brodmann, Sharp, Takahashi, Saremi, T.T.Nam và N.M.Tri,… Chúng có thể được ứng dụng trong lý lý thuyết đối đồng điều địa phương. Trong tương lai, chúng tôi sẽ nghiên cứu thêm một số tính chất liên quan đến như tính minimax, cominimax và các iđêan nguyên tố liên kết, gắn kết của chúng.
Hãy là người bình luận đầu tiên