Hồi qui chuỗi lượng giác và một số ứng dụng - NCS. Nguyễn Đăng Minh

Tên luận án: “Hồi qui chuỗi lượng giác và một số ứng dụng”

Chuyên ngành: Toán/ Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62 46 01 06 
Họ và tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Đăng Minh
Người hướng dẫn khoa học:  GS.TS. Đặng Đức Trọng
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
1. Tóm tắt nội dung luận án 
Trong luận án, chúng tôi đã nghiên cứu các vấn đề sau:
Vấn đề 1. Xét bài toán hồi qui Y_j=f(X_j)+ε_j,j=(1,n) ̅ trong trường hợp X_j∈I⊂R^d,d≥2. Xây dựng ước lượng chuỗi trực giao trong trường hợp tổng quát này, khảo sát tính vững và tốc độ hội tụ của ước lượng đề xuất.
Vấn đề 2. Cho Ω=(0,b)×(0,π)⊂R^2, ta xét bài toán Helmholtz cải biên: tìm hàm biên độ sóng u(x,y)thỏa
(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=ku,(x,y)∈Ω,k∈R
với điều kiện biên
u_x (0,y)=u_x (π,y)=u_y (x,0)=0,0≤x≤π,0≤y≤b,
và bộ dữ liệu quan trắc thỏa mô hình hồi qui
Y_j=f(X_j)+ε_j,j=(1,n) ̅
với X_j là tọa độ đo thiết kế tất định.
Vấn đề 3. Xét Ω=(0,π)×(0,π)⊂R^2,T>0 và hàm số a:(0,T)⟶R^+ đo được Lebesgue thỏa mãn điều kiện elliptic đều, tức là tồn tại hai hằng số thực dương a_1,a_2 thỏa a_1≤a(t)≤a_2,∀t∈(0,T). . Xét bài toán tìm nhiệt độ đầu θ(x,y):=u(x,y,0)khi biết trước hàm nguồn f(x,y) và nhiệt độ cuối h(x,y) thỏa mãn phương trình
{(u_t-a(t)∆u=f(x,y,t),(x,y,t)∈Ω×(0,T),@u(x,y,T)=h(x,y),(x,y)∈Ω,)┤
thỏa điều kiện Dirichlet
├ u┤|_∂Ω=0
với ∂Ω là biên của miền Ω, toán tử Laplace Δu=(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 ). Nhiệt độ cuối và nguồn nhiệt thỏa mô hình hồi qui: với điểm thiết kế đo (X_i,Y_j)∈Ω tất định, g_ij (t) và Z_ij là những giá trị quan trắc của f,h thỏa mô hình
g_ij (t)=f(X_i,Y_j,t)+ϑξ_ij (t),Z_ij=h(X_i,Y_j)+σ_ij ε_ij
trong đó ξ_ij (t) là chuyển động Brown, ε_ij là những biến ngẫu nhiên độc lập với trung bình 0, phương sai bằng 1 và bậc nhiễu σ_ij bị chặn bởi hằng số dương V_max , nghĩa là 0<σ_ij≤V_max,∀i,j và ϑ là một hằng số dương nhỏ. Những biến ngẫu nhiên ξ_ij (t) và ε_ij là đôi một độc lập. Trong mô hình này, những giá trị quan trắc g_ij (t) và Z_ij biết trước do đo đạc trong khi biên độ nhiễu ngẫu nhiên ξ_ij (t) và ε_ij không biết trước.
2. Những kết quả của luận án
Trong nội dung đã trình bày trong luận án, chúng tôi đã nghiên cứu:
i.    Ứng dụng ước lượng chiếu để xây dựng ước lượng sóng, ước lượng nhiệt lần lượt cho hai bài toán Helmholtz và nhiệt ngược hai chiều.
ii.    Tương ứng với mỗi ước lượng trên, chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức van Trees để tìm chặn dưới và chứng minh ước lượng đề xuất đạt tốc độ hội tụ tối ưu.
iii.    Trong trường hợp bài toán Helmholtz một chiều, chúng tôi đã xây dựng một xấp xỉ tiệm cận khoảng tin cậy cho trường sóng khi mẫu ngẫu nhiên nhiều độc lập cùng phân phối.
iv.    Thực hiện mô phỏng số cho hai bài toán được nghiên cứu ở trên.
3. Các khả năng ứng dụng trong thực tiễn
Từ những kết quả đã đạt được, chúng tôi sẽ hướng tới nghiên cứu những vấn đề mở và hóc búa hơn như sau:
i.    Xây dựng ước lượng chiếu cho những bài phương trình toán lý phi tuyến, ví dụ như phương trình nhiệt, phương trình sóng và phương trình elliptic phi tuyến với đạo hàm bậc nguyên và không nguyên, với dữ liệu ngẫu nhiên.
ii.    Khảo sát các bài toán trên trong trường hợp phương trình có nhiễu trắng.
iii.    Nghiên cứu áp dụng các phương pháp chọn tham số trơn (tham số chỉnh hoá) thích nghi với dữ liệu (adaptive estimation) theo các phương pháp Lepskii, phương pháp hàm phạt (penalty function methods) và phương pháp CV (cross validation method) cho những phương trình toán lý đặt không chỉnh.