Tên luận án Khảo sát một số bài toán không chỉnh cho phương trình loại elliptic và parabolic - NCS. Lưu Hồng Phong

Tên luận án: Khảo sát một số bài toán không chỉnh cho phương trình loại elliptic và parabolic.
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
Họ tên nghiên cứu sinh: Lưu Hồng Phong
Khóa đào tạo: Khóa 27 (12/2016 – 12/2019)
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Hoàng Quân
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- ĐHQG.TPHCM
1. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN:
Trong luận án, chúng tôi khảo sát một số dạng bài toán không chỉnh cho phương trình loại elliptic và parabolic. 
Cụ thể, luận án được chia thành 05 chương với nội dung tóm tắt như sau
Chương 1: Đưa ra hướng nghiên cứu của luận án.
Chương 2: Nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, một số không gian hàm, các kiến thức về hàm Bessel, hàm cầu Bessel và một số bổ đề hỗ trợ cho việc chứng minh các kết quả chính.
Chương 3: Xét một số bài toán truyền nhiệt ngược không đối xứng trong trường hợp nguồn nhiệt không thuần nhất, với hệ số khuếch tán là hằng số hoặc phụ thuộc vào thời gian trong miền tọa độ cực hoặc trong tọa độ cầu.
Cụ thể, chúng tôi xét 04 bài toán như sau
Bài toán 1: Bài toán nhiệt ngược thời gian tổng quát không thuần nhất với hệ số khuếch tán là hằng số.
Bài toán 2: Bài toán nhiệt ngược thời gian không thuần nhất trong tọa độ cực với hệ số khuếch tán là hằng số và hàm nguồn phụ thuộc không gian.
Bài toán 3: Bài toán nhiệt ngược thời gian không thuần nhất trong tọa độ cực với hệ số khuếch tán phụ thuộc thời gian và hàm nguồn phụ thuộc thời gian và không gian.
Bài toán 4: Bài toán nhiệt ngược thời gian không thuần nhất trong tọa độ cầu với hệ số khuếch tán là hằng số và hàm nguồn phụ thuộc không gian.
    Chương 4: Xét bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz trong miền ba chiều không bị chặn và bài toán ngược cho phương trình elliptic phi tuyến trong miền ba chiều không bị chặn.
    Cụ thể, chúng tôi xét 02 bài toán như sau
Bài toán 5: Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz không thuần nhất trong miền ba chiều không bị chặn với hệ số sóng bị nhiễu.
Bài toán 6: Bài toán ngược cho phương trình dạng elliptic phi tuyến trong miền ba chiều không bị chặn với hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục.
    Chương 5: Kết luận.
Các phương pháp chỉnh hóa được áp dụng: phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh và phương pháp chặt cụt Fourier.

2. NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN:
Trong luận án, chúng tôi thu được các kết quả sau:
1. Đối với dạng bài toán không chỉnh cho phương trình loại parabolic: bằng cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm cho phương pháp MQBV, chúng tôi đã thu được tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác với bậc  . Bên cạnh đó, chúng tôi có trình bày các ví dụ số cụ thể nhằm minh họa cho các kết quả chỉnh hóa trong lý thuyết. 
2. Đối với dạng bài toán không chỉnh cho phương trình loại elliptic: Dựa trên ý tưởng của phương pháp chặt cụt tích phân, chúng tôi đã xây dựng các nghiệm chỉnh hóa cho từng bài toán và thu được ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa dưới dạng  . Ngoài ra, các kết quả số cũng được đưa ra để minh họa cho phần lý thuyết.
Các kết quả chính của luận án được công bố trên 05 tạp chí quốc tế có uy tín (01 SCI, 03 SCIE, 01 Scopus) và nhận đăng ở 01 tạp chí trong nước.
3. CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU 
    Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu một số bài toán không chỉnh cho phương trình loại elliptic và parabolic trong các trường hợp:
1. Trường hợp hàm nguồn phi tuyến thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục, Lipschitz địa phương cho cả hai loại phương trình elliptic và parabolic.
2. Trường hợp dữ liệu rời rạc cho cả hai phương trình loại elliptic và parabolic.
3. Trường hợp chứa toán tử bậc phân cho cả hai phương trình loại elliptic và parabolic.