Một số tính chất của môđun đồng điều địa phương suy rộng - NCS. Đỗ Ngọc Yến

Tên đề tài luận án: Một số tính chất của môđun đồng điều địa phương suy rộng
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62460104
Họ tên nghiên cứu sinh: Đỗ Ngọc Yến
Khóa đào tạo: năm 2017-2020
Người hướng dẫn khoa học: 
Hướng dẫn chính: PGS. TS. Trần Tuấn Nam
Hướng dẫn phụ: TS. Nguyễn Viết Đông
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- ĐHQG HCM 
1. Tóm tắt luận án 
Luận án nghiên cứu một số tính chất của môđun đồng điều địa phương suy rộng. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện để tập iđêan nguyên tố đối liên kết của môđun đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp môđun là hữu hạn.  Ngoài ra, thông qua các định lí đối ngẫu chúng tôi sẽ đưa ra các kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương. Một hướng suy rộng khác của môđun đối đồng điều địa phương, đó là môđun đối đồng điều địa phương hình thức được giới thiệu bởi P. Schenzel. Bằng cách đối ngẫu, chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun đồng điều địa phương hình thức và nghiên cứu một số tính chất cơ bản của lớp môđun này trong trường hợp môđun compact tuyến tính. Đồng thời các tính chất triệt tiêu, không triệt tiêu và tính hữu hạn sinh của lớp môđun này cũng đã được nghiên cứu.
2. Những kết quả mới của luận án 
Đối với môđun đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp môđun, chúng tôi thu được một số kết quả quan trọng sau:
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc thỏa   là  -môđun Artin. Cho   là số nguyên không âm. Nếu   là minimax với mọi   và   là môđun con đóng của   thỏa   là minimax thì   là Artin. Hơn nữa,   là tập hữu hạn. 
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính. Nếu   và   thỏa điều kiện hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố đối liên kết với mọi   thì   là hữu hạn.
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc. Cho   là một số nguyên không âm. Nếu   thỏa điều kiện hữu hạn cho tập   với mọi   thì môđun   cũng thỏa điều kiện hữu hạn cho tập  . Đặc biệt,  là tập hữu hạn.
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc sao cho   Khi đó, nếu   và   thì   Đặc biệt,    là tập hữu hạn.
Thông qua các định lí đối ngẫu, chúng tôi thu được một số kết quả về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng:
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc thỏa   là  -môđun hữu hạn sinh. Cho   là số nguyên không âm. Nếu   là minimax với mọi   và   là môđun con đóng của    thì   là hữu hạn sinh. Đặc biệt, tập   là hữu hạn.
• Cho   là  -môđun hữu hạn sinh và   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc. Cho   là số nguyên không âm. Nếu   thỏa điều kiện hữu hạn với mọi   thì môđun   là Lasker yếu. Hơn nữa,   là tập hữu hạn.
Đối với môđun đồng điều địa phương hình thức, chúng tôi thu được một số kết quả sau đây:
• Cho   là  -môđun. Khi đó với mọi số nguyên   
• Cho   là vành đầy đủ và   là  -môđun compact tuyến tính. Khi đó   và   với mọi  
• Cho   là  -môđun compact tuyến tính nửa rời rạc và khác không. Khi đó
i)  nếu  
ii)  nếu  
• Cho   là  -môđun Artin và   là số nguyên dương. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) là  -môđun hữu hạn sinh với mọi  
ii) với mọi  
• Cho    là  -môđun Artin với   Khi đó   là  -môđun Noether.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Luận án đã đưa ra những kết quả mới về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố đối liên kết của môđun đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp môđun và nghiên cứu về lớp môđun đồng điều địa phương hình thức. Những kết quả này có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể ứng dụng để nghiên cứu về lớp môđun đồng điều địa phương. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các tính chất của lớp môđun đồng điều địa phương hình thức, cụ thể về tính triệt tiêu, không triệt tiêu và tính hữu hạn.