Điều kiện hội tụ nghiệm cho bài toán tối ưu tập và các vấn đề liên quan - NCS. Đinh Vinh Hiển

Tên đề tài luận án: Điều kiện hội tụ nghiệm cho bài toán tối ưu tập và các vấn đề liên quan
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số ngành: 9460112
Họ tên nghiên cứu sinh: Đinh Vinh Hiển
Khóa đào tạo: 2018-2022
Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Lâm Quốc Anh; 2. PGS.TS. Nguyễn Lê Hoàng Anh
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án 
Luận án này đi sâu nghiên cứu điều kiện hội tụ nghiệm cho bài toán tối ưu tập và bài toán tựa cân bằng vectơ với nón phụ thuộc biến. Chủ đề đầu tiên là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm yếu, nghiệm mạnh, nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu tập theo nghĩa hội tụ Painlevé-Kuratowski và Hausdorff của dãy các tập tối tiểu trong không gian ảnh của các bài toán nhiễu đến tập nghiệm tương ứng của bài toán gốc. Khảo sát sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu vectơ không chắc chắn dạng lạc quan là chủ đề thứ hai mà luận án đã đề cập đến. Bằng việc sử dụng hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz suy rộng và các tính chất của các phần tử trong không gian ảnh, chúng tôi thiết lập các mối quan hệ giữa tính đặt chỉnh của các bài toán nêu trên với tính đặt chỉnh của các bài toán vô hướng thích hợp. Chủ đề cuối cùng là nghiên cứu điều kiện ổn định theo nghĩa liên tục/nửa liên tục của ánh xạ nghiệm và thiết lập điều kiện cần/đủ cho tính đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng vectơ tham số với nón phụ thuộc biến.
2. Những kết quả mới của luận án 
• Nghiên cứu điều kiện hội tụ nghiệm cho bài toán tối ưu tập trong không gian ảnh bằng cách nhiễu bài toán bởi dãy các tập ràng buộc. Chúng tôi thu được kết quả hội tụ của dãy nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán nhiễu về nghiệm của bài toán gốc. Hơn nữa, bằng cách sử dụng tính chất ngược của ánh xạ đa trị, chúng tôi thu được điều kiện hội tụ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu tập trong trường hợp nghiệm hữu hiệu không trùng với nghiệm hữu hiệu yếu hoặc nghiệm hữu hiệu mạnh.
• Khảo sát sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu vectơ không chắc chắn dạng lạc quan. Trước hết, chúng tôi biểu diễn mối quan hệ giữa sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu vectơ không chắc chắn dạng lạc quan với sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu vô hướng tương ứng. Kế tiếp, chúng tôi thiết lập các điều kiện đủ và các đặc trưng cho tính đặt chỉnh của bài toán nêu trên.
• Nghiên cứu điều kiện hội tụ nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ dạng yếu và dạng mạnh với nón phụ thuộc biến. Trước nhất là thiết lập điều kiện cần/đủ của tính liên tục/nửa liên tục của ánh xạ nghiệm của các bài toán. Thứ hai là nghiên cứu tính đặt chỉnh (duy nhất) và đặt chỉnh Hadamard (suy rộng) của bài toán.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
• Các ứng dụng: Các kết quả về điều kiện hội tụ nghiệm của bài toán tối ưu tập được ứng dụng vào mô hình kinh tế học phúc lợi. Các kết quả về tính ổn định và đặt chỉnh của bài toán tựa cân bằng vectơ tham số với nón phụ thuộc biến được ứng dụng vào bài toán cân bằng bị chặn hai phía và bài toán cân bằng mạng giao thông.
• Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: Các kết quả trên có thể được ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định và đặt chỉnh của các bài toán trong thực tế như: bài toán cực tiểu hóa chi phí; bài toán tối đa hóa sản lượng/lợi nhuận/thỏa dụng; mô hình cân bằng Walras, v.v...