Một số bài toán chỉnh hóa bằng phương pháp phổ - NCS. Nguyễn Minh Điện

Tên đề tài: Một số bài toán chỉnh hóa bằng phương pháp phổ
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 62460102
Họ và tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Minh Điện
Khóa đào tạo: 2016
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đặng Đức Trọng
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án
Luận án này giới thiệu phương pháp phổ chỉnh hóa một số bài toán ngược thời gian phi tuyến có tính đến sự nhiễu động của các tham số liên quan. Các bài toán ngược thời gian có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật. Những bài toán này thường không chỉnh theo nghĩa của Hadarmad. Hơn nữa, khi các tham số bị nhiễu thì một số sơ đồ chỉnh hóa thông thường không còn khả dụng. Sử dụng phương pháp phổ, chúng tôi đã đưa ra kết quả chỉnh hóa cho 02 bài toán sau:
Bài toán 1. Bài toán ngược cho phương trình khuếch tán phi tuyến với phổ liên tục.
Bài toán 2. Bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến với phổ rời rạc.
2. Những kết quả mới của luận án
Luận án bao gồm các kết quả mới sau:
- Xem xét tính không chỉnh của Bài toán 1 khi các tham số bị nhiễu.
- Phân tích tính không khả dụng của sơ đồ chỉnh hóa thông thường khi các tham số bị nhiễu.
- Giới thiệu chứng minh tổng quát về tính không chỉnh cho Bài toán 2.
- Trình bày phương pháp phổ chỉnh hóa nghiệm của Bài toán 1 và Bài toán 2.
- Ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của các bài toán.
Các kết quả chính trong luận án này được tổng hợp từ 02 công trình đã công bố trên tạp chí quốc tế: Mathematical Methods in the Applied Sciences (SCIE-Q1) và Journal of Computational and Applied Mathematics (SCIE-Q2).
3. Các ứng dụng/khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi dự kiến mở rộng các nghiên cứu theo các hướng sau:
- Nghiên cứu Bài toán 1 và Bài toán 2 trong trường hợp các tham số của bài toán phụ thuộc vào biến thời gian, biến không gian hoặc cả biến thời gian và không gian.
- Khảo sát các bài toán khi thay đạo hàm cấp một theo thời gian ở vế trái bằng các đạo hàm cấp không nguyên như đạo hàm Caputo, Riemann-Liouville, Hilfer.