Một số bài toán ngược cho phương trình elliptic - NCS. Phan Trung Hiếu

Tên đề tài luận án: Một số bài toán ngược cho phương trình elliptic
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 62460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Phan Trung Hiếu
Khóa đào tạo: 2015
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Hoàng Quân
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án
Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu 02 bài toán ngược cho phương trình elliptic. Cụ thể, luận án được chia thành 03 chương với nội dung tóm tắt như sau
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm, giải tích thực và xác suất thống kê cần thiết cho luận án.
Chương 2: Xét bài toán Cauchy cho phương trình tựa Helmholtz không thuần nhất.
Chương 3: Xét bài toán giá trị biên cho phương trình tựa Helmholtz phi tuyến với các dữ kiện nhiễu ngẫu nhiên.
Nội dung chính trong mỗi chương (chương 2 và  3) bao gồm: chứng minh tính không chỉnh của bài toán, chỉnh hóa bài toán và tìm nghiệm xấp xỉ, có đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Cuối cùng, các kết quả lý thuyết được minh họa bằng các ví dụ số cụ thể.
2. Những kết quả mới của luận án
Trong luận án, chúng tôi thu được các kết quả mới sau:
1. Chỉnh hóa bài toán Cauchy cho phương trình tựa Helmholtz không thuần nhất. Đây là bài toán tổng quát hơn và có ý nghĩa thực tiễn hơn bài toán trong trường hợp thuần nhất. Hơn nữa, chúng tôi đã sử dụng một phương pháp chỉnh hóa để đưa ra được đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
2. Chỉnh hóa bài toán giá trị biên cho phương trình tựa Helmholtz phi tuyến với toán tử Laplace cấp không nguyên, có các dữ kiện nhiễu ngẫu nhiên. Phương trình với đạo hàm cấp không nguyên có nhiều ứng dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên và kỹ thuật mà phương trình với đạo hàm cấp nguyên không thể mô hình hóa được. Theo như chúng tôi tìm kiếm, bài toán thứ hai này là bài toán chưa được nghiên cứu trước đây. Trong luận án này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp hồi quy chuỗi lượng giác kết hợp với phương pháp chặt cụt chuỗi để xây dựng nghiệm chỉnh hóa. Từ đó, chúng tôi đưa ra được các đánh giá tốc độ hội tụ theo sai số MISE (Mean Integrated Squared Error) giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
3. Đưa ra được các ví dụ số cụ thể để minh họa các kết quả lý thuyết đạt được.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu một số bài toán ngược cho phương trình loại elliptic như sau:
1. Bài toán ngược cho phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền sóng, phương trình elliptic phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và với các dữ kiện nhiễu ngẫu nhiên.
2. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền sóng, phương trình elliptic phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và với các dữ kiện nhiễu ngẫu nhiên.