Một số nghiên cứu về nguyên lý biến phân Ekeland hướng vào các áp dụng khác nhau - NCS. Lê Phước Hải

Tên đề tài luận án: Một số nghiên cứu về nguyên lý biến phân Ekeland hướng vào các áp dụng khác nhau
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số ngành : 62460112
Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Phước Hải
Khóa đào tạo: 2017
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Phan Quốc Khánh
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án 
Nhìn chung, luận án được chia tương đối thành hai phần. Phần I, bao gồm chương thứ hai, dành cho việc nghiên cứu nguyên lý biến phân Ekeland (EVP) trên không gian mêtric riêng phần và một số vấn đề liên quan như định lý quy nạp và điểm bất động. Phần II của luận án gồm hai chương tiếp theo. Chúng tôi nghiên cứu tính chất giới hạn của một loại nghiệm xấp xỉ theo nghĩa Henig cho bài toán cân bằng vectơ (VEP) (trong đó không gian mục tiêu là hữu hạn chiều). Ngoài ra, các biến thể của EVP (liên quan đến nhiễu theo hướng hay theo tập) đối với các nghiệm này cho VEP được cung cấp trong các thiết lập khác nhau (trên không gian mục tiêu) từ thiết lập tổng quát đến thiết lập cụ thể. Đặc biệt hơn, từ quan điểm tính toán, trong không gian mục tiêu hữu hạn chiều, các biến thể của EVP thu được đối với bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc và ràng buộc theo nón được biểu diễn theo ma trận dùng để định nghĩa nón thứ tự, và hơn nữa, các kết quả thu được được áp dụng cho trường hợp cụ thể của bài toán tối ưu đa mục tiêu, và để nghiên cứu một dạng mới của bất đẳng thức biến phân vectơ có liên quan được đề xuất trong cùng một khuôn khổ.
2. Những kết quả mới của luận án 
• Định lý quy nạp được chứng minh trên không gian mêtric riêng phần (PMS) và được sử dụng như một công cụ để nghiên cứu EVP và điểm bất động trên không gian này. Sau đó, bởi vì khoảng cách đến chính nó là khác không nên chúng tôi sử dụng  một kỹ thuật mới, cụ thể là nhờ vào các định lý mới được đặt tên thông qua việc phân loại cái gọi là điểm Ekeland (do chúng tôi đề xuất) để thu được các phiên bản khác nhau của EVP. Một cách tự nhiên, các định lý điểm bất động kiểu Caristi được tìm thấy trên PMS như một mối quan hệ chặt chẽ với EVP.
• Trong phần còn lại của luận án, một số đặc điểm nổi bật có thể tóm tắt như sau. Tính chất giới hạn tốt của nghiệm chính thường-(C,ε) của VEP được chứng minh khi sai số ε dần về 0. Cụ thể, tùy thuộc vào tập xấp xỉ dùng để định nghĩa nghiệm xấp xỉ, chúng tôi thu được điều kiện đủ về đảm bảo sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ đến nghiệm yếu /chính thường/hữu hiệu (chính xác) của VEP mà đã được công nhận rộng rãi trong lý thuyết tối ưu vectơ. Hơn nữa, trong không gian mục tiêu hữu hạn chiều, các biến thể của EVP thu được cho cả bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc và ràng buộc nón đối với các nghiệm xấp xỉ này. Không giống như hầu hết các biến thể trước đây về EVP, các kết luận của các biến thể của EVP cho VEP được đưa ra trong luận án này dưới dạng vô hướng khiến chúng thú vị về mặt tính toán. Ngoài ra, trong chương cuối cùng, chúng tôi tiếp tục phát triển các biến thể này của EVP trong bối cảnh nhiễu tập với sự trợ giúp của khái niệm họ xấp xỉ của nón và một kiểu suy rộng của hàm vô hướng phi tuyến Ger-stewitz; kết quả đưa ra ở đây là khá trừu tượng và liên quan đến các loại nghiệm hữu hiệu chính thường quan trọng. Theo đó, phân tích của chúng tôi cho các ứng dụng được chọn dựa trên các kết quả đã đề cập trước đó là mới.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
• Các ứng dụng: Một số kết quả của luận án này được sử dụng để phân tích các mô hình lý thuyết trong lý thuyết tối ưu như quy hoạch đa mục tiêu và bất đẳng thức biến phân.
• Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: Các kết quả trên có thể được áp dụng để nghiên cứu khoa học hành vi và nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho các vấn đề thực tế như bài toán cực tiểu hóa chi phí; bài toán tối đa hóa sản lượng hay lợi nhuận. Ngoài ra, tất cả các kết luận về các biến thể của EVP được đưa ra ở đây dưới dạng vô hướng và do đó, điều này có thể sẽ mở ra một nghiên cứu sâu hơn về việc sử dụng các biến thể này để xử lý trực tiếp cho các bài toán tối ưu vectơ mà không cần sử dụng EVP cổ điển như thông thường.