Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến và các mô hình sóng liên quan - NCS. Huỳnh Thanh Toàn

Tên đề tài luận án: Nghiên cứu mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger có nhiễu phi tuyến và các mô hình sóng liên quan
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số ngành: 62460112
Họ tên nghiên cứu sinh: Huỳnh Thanh Toàn
Khóa đào tạo: 2016
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Minh Quân và PGS. TS. Mai Đức Thành
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM 
1. Tóm tắt luận án 
Luận án nghiên cứu một số mô hình truyền sóng của phương trình Schrödinger trong các loại vật liệu nhân tạo mới (silicon, silica, photonic crystal, v.v.) đang được ứng dụng trong kỹ thuật thông tin quang và các mô hình sóng liên quan. Luận án gồm ba nội dung chính sau đây:
Nội dung thứ nhất, luận án nghiên cứu một số bài toán truyền sóng soliton của mô hình (1+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba. Chúng tôi xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số soliton một lượng bất kỳ tại một khoảng cách truyền dẫn bất kỳ dựa trên phép biến đổi Fourier cho nghiệm soliton và kỹ thuật “phân rã” tần số soliton. Chúng tôi sau đó vận dụng phép dịch chuyển tần số để nghiên cứu một số bài toán ứng dụng liên quan như điều khiển biên độ soliton và va chạm soliton. Bên cạnh đó, luận án nghiên cứu động lực biên độ soliton trong hệ đa kênh gồm N phương trình Schrödinger phi tuyến có nhiễu Raman (xuất hiện do tương tác của soliton và vật liệu silica của ống quang dẫn) và suy hao/lợi nhiễu phi tuyến. Luận án xấp xỉ biên độ soliton của hệ phương trình đạo hàm riêng bởi hệ phương trình vi phân thường (ODE) và nghiên cứu tính ổn định của hệ ODE sử dụng hàm Lyapunov và phép tuyến tính hóa. Từ đó, luận án tìm được bộ tham số nhiễu trong truyền tải ổn định và bật/tắt kênh dẫn sóng.
Nội dung thứ hai, luận án xây dựng phương pháp tính nhiễu trong nghiên cứu động lực biên độ va chạm cho 2D soliton của mô hình (2+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến bão hòa, trong đó mô hình (2+1)D Schrödinger phi tuyến lý tưởng là không khả tích. Phương pháp tính nhiễu dựa trên các tính toán cân bằng năng lượng và tính xấp xỉ sự thay đổi trường sóng soliton có nhiễu. Từ đó, chúng tôi thiết lập biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ của soliton do va chạm nhanh dưới tác động của nhiễu suy hao phi tuyến yếu, loại nhiễu hình thành do sự hấp thụ các photon ánh sáng của vật liệu silicon. Bên cạnh đó, luận án cũng xây dựng phương pháp tính nhiễu trong nghiên cứu động lực biên độ va chạm của sóng không là soliton của lớp phương trình Schrödinger tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba yếu và tải-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai yếu, đồng thời chứng minh tính chất tương tự soliton trong va chạm nhanh của các sóng tuyến tính này. Kết quả nghiên cứu này là sự phát triển các nghiên cứu về 1D soliton của mô hình (1+1)D Schrödinger phi tuyến bậc ba có nhiễu, trong đó mô hình Schrödinger phi tuyến bậc ba lý tưởng là khả tích.
Nội dung thứ ba, luận án định lượng tác động của nhiễu suy hao phi tuyến lên nD soliton của mô hình (n+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh, n=1, 2, 3. Bằng cách cải tiến kỹ thuật tính nhiễu cho 2D soliton trong môi trường quang dẫn phi tuyến bão hòa ở nội dung thứ hai, luận án thiết lập biểu thức mô tả sự suy hao biên độ do va chạm nhanh của 1D soliton (xung), của 2D soliton (chùm sáng) và của 3D soliton (đạn ánh sáng) trong môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba-năm có nhiễu suy hao phi tuyến yếu, trong đó mô hình Schrödinger lý tưởng là khả tích với n=1 và không khả tích với n=2, 3. Luận án cũng chứng minh tính hiệu quả của phương pháp tính nhiễu theo hướng sử dụng kỹ thuật cân bằng năng lượng trong nghiên cứu động lực biên độ va chạm cho soliton của mô hình Schrödinger phi tuyến có nhiễu.
Các kết quả tính toán lý thuyết được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải số trên các mô hình phương trình đạo hàm riêng tương ứng. 
2. Những kết quả mới của luận án 
(1) Xây dựng phương pháp dịch chuyển tần số cho soliton đơn và cho chuỗi soliton của mô hình (1+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến bậc ba một lượng bất kỳ tại một khoảng cách truyền dẫn bất kỳ.
(2) Xác định bộ tham số nhiễu cho truyền tải ổn định và bật/tắt chuỗi soliton trong hệ quang dẫn đa kênh được mô tả bởi hệ N phương trình (1+1)D Schrödinger phi tuyến bậc ba có nhiễu Raman và suy hao/lợi nhiễu phi tuyến.
(3) Xây dựng phương pháp tính nhiễu trong nghiên cứu động lực biên độ va chạm cho 2D soliton của mô hình (2+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến bão hòa có nhiễu suy hao phi tuyến, trong đó mô hình Schrödinger lý tưởng là không khả tích.
(4) Định lượng tác động của nhiễu lên sóng không là soliton của lớp phương trình Schrӧdinger tuyến tính có nhiễu suy hao bậc ba và tải-khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao bậc hai.
(5) Định lượng tác động của nhiễu suy hao phi tuyến lên nD soliton của mô hình (n+1)D Schrödinger trong môi trường quang dẫn phi tuyến cạnh tranh bậc ba-năm, n=1, 2, 3.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Dựa trên các kết quả đạt được, trong thời gian tới chúng tôi sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:
(1) Nghiên cứu tính chất nghiệm soliton trong các mô hình Schrödinger phi tuyến, Ginzburg-Landau và Korteweg-de Vries dưới tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến.
(2) Nghiên cứu tác động của các quá trình nhiễu lên các tham số khác của 2D và 3D soliton (pha, vị trí, tần số của soliton).
(3) Nghiên cứu động lực biên độ va chạm của sóng không phải là soliton có số chiều lớn hơn 1 dưới tác động của các quá trình nhiễu phi tuyến.
(4) Nghiên cứu các lược đồ số giải phương trình Schrödinger phi tuyến có nhiễu như tách bước Crank-Nicolson và sai phân hữu hạn miền thời gian.