Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đạo hàm riêng - NCS. Võ Đức Cẩm Hải

Tên đề tài luận án: Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đạo hàm riêng
Ngành: Toán Giải tích
Mã số ngành: 62460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Võ Đức Cẩm Hải
Khóa đào tạo: 2016
Người hướng dẫn khoa học: TS. Ông Thanh Hải, TS. Hoàng Thị Thảo Phương
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Luận án trình bày nghiên cứu xây dựng thuật toán, nghiên cứu tính chất toán học (sự tồn tại và duy nhất nghiệm xấp xỉ, tính ổn định, tính nhất quát và sự hội tụ) của thuật toán, và kết quả số (so sánh độ chính xác, sự hiệu quả với các phương pháp số khác) cho ba phương pháp số gồm: (i) phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm phi tuyến đơn điệu cho bài toán khuếch tán không đẳng hướng và không đồng nhất, (ii) phương pháp phần tử trung tâm lưới lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không nén được trên lưới tổng quát trong hai chiều, (iii) phương pháp phần tử trung tâm lưới lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không nén được trên lưới tổng quát trong ba chiều.    
2. Những kết quả mới của luận án:
Luận án có 3 kết quả chính sau:
1. Kết quả đầu tiên tập trung vào việc xây dựng được một phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm phi tuyến đơn điệu cho bài toán khuếch tán không đẳng hướng và không đồng nhất, có thể áp dụng trên lưới tổng quát. Phương pháp này chỉ sử dụng các biến tương ứng tại vị trí trung tâm từng phần tử lưới ban đầu, được chứng minh thỏa nguyên lý cực đại rời rạc, tính nhất quán và tính hội tụ, và đạt được sự chính xác, hiệu quả trong các kết quả số.
2. Kết quả thứ hai là nghiên cứu xây dựng được một phương pháp phần tử trung tâm lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không nén được trên lưới tổng quát trong hai chiều. Phương pháp này tìm xấp xỉ áp suất bằng hàm đặc trưng trên lưới kép và độ chuyển vị bằng đa thức Lagrange bậc 1 trên lưới kép phụ. Kỹ thuật macro-element được sử dụng để chứng minh tính ổn định và tính nhất quán của phương pháp. Hai tính chất này giúp chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Kết quả số cũng chỉ ra phương pháp ổn định, hiệu quả và có độ chính xác trên các loại lưới ban đầu khác nhau trong 2D.
3. Kết quả cuối cùng liên quan đến việc mở rộng nghiên cứu xây dựng được phương pháp phần tử trung tâm lưới lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không nén được trên lưới tổng quát trong ba chiều. Phương pháp này cũng có thể áp dụng trên lưới ban đầu tổng quát, cũng có cở sở hàm xấp xỉ áp suất bằng hàm đặc trưng trên lưới kép và độ chuyển vị bằng đa thức Lagrange bậc 1 trên lưới kép phụ. Các kết quả về lý thuyết gồm tính ổn định, tính nhất quán, và sự hội tụ cũng được chứng minh chi tiết. Và kết quả số cũng chỉ ra phương pháp ổn định, hiệu quả và có độ chính xác trên các loại lưới ban đầu khác nhau trong 3D.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Kết quả của luận án có khả năng ứng dụng trong thực tiễn như sau:
(i) Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm phi tuyến đơn điệu cho bài toán khuếch tán, mô phỏng các hiện tượng lan truyền nhiệt, lan truyền chất, ...
(ii) Ứng dụng phương pháp phần tử trung tâm lệch lưới cho phân tích, mô phỏng sự biến dạng tại trạng thái nén hoặc gần như không nén của vật liệu đàn hồi tuyến hai chiều và ba chiều.
Luận án cần tiếp tục nghiên cứu cho bài toán khuếch tán, bài toán đàn hồi phụ thuộc vào thời gian, bài toán chất lỏng như Stokes, Oseen, Navier-Stokes, ... có thành phần khuếch tán.