Tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia - NCS. Vũ Mai Trang

Tên đề tài luận án: Tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số ngành: 9460104
Họ tên nghiên cứu sinh: Vũ Mai Trang
Khóa đào tạo: 2019
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Mai Hoàng Biên
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án
Luận án nghiên cứu tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu tác động của tính đại số trên tâm và tính đại số một phía trên một vành chia con của một nhóm con nào đó lên cấu trúc toàn bộ vành chia, qua đó đánh giá số chiều trên tâm của vành chia trong một số trường hợp cụ thể.
2. Những kết quả mới của luận án
Chúng tôi liệt kê ra đây một số kết quả tiêu biểu:
a. Kết quả liên quan đến tính đại số của các giao hoán tử:
Cho D là một vành chia với tâm là F và N là một nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*. Nếu tất cả các giao hoán tử nhân aba-1b-1, trong đó a∈N và b∈D^*, đều đại số bậc bị chặn bởi d trên F thì [D:F]≤d^2. Tương tự, nếu tất cả các giao hoán tử cộng ac-ca, trong đó a∈N và c∈D, đều đại số bậc bị chặn bởi d trên F thì [D:F]≤d^2.
b. Kết quả liên quan đến tính đại số của nhóm con chuẩn tắc và á chuẩn tắc:
(1) Cho D là một vành chia với tâm là F và N là một nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*. Nếu N đại số bậc bị chặn bởi d trên F thì [D:F]≤d^2.    
(2) Cho D là một vành chia với tâm F không đếm được và K là một vành chia con của D chứa F. Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*. Khi đó, N đại số trái (t.ư, phải) trên K nếu và chỉ nếu D đại số trái (t.ư, phải) trên K.
(3) Cho D là một vành chia với tâm là F và K là một trường con của D. Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D*. Nếu N đại số trái (hoặc phải) bậc bị chặn bởi d trên K thì [D:F]≤d^2.                    
c. Kết quả liên quan đến lớp vành chia đại số địa phương:
Nếu D là một vành chia đại số địa phương bậc bị chặn bởi d thì D là vành chia hữu hạn tâm với số chiều không vượt quá d2.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Nếu một vành chia đại số trái trên một trường con thì nó có đại số phải trên trường con ấy?
Khi nào một vành chia đại số trên tâm là hữu hạn địa phương yếu?