Toán tử Hausdorff và thế vị Riesz trên một số không gian hàm - NCS. Ngô Thị Hồng

Tên luận án: Toán tử Hausdorff và thế vị Riesz trên một số không gian hàm
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 22N22106
Họ tên nghiên cứu sinh: Ngô Thị Hồng
Khóa đào tạo: 2022-2025
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lý Kim Hà, PGS.TS. Đào Văn Dương
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG-HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Luận án tập trung nghiên cứu tính bị chặn và ước lượng chuẩn cho một số lớp toán tử Hausdorff, thế vị Riesz và các giao hoán tử của chúng trên các không gian hàm như không gian Morrey có trọng, không gian Herz có trọng, không gian Morrey-Herz có trọng, với các biểu trưng thuộc không gian Lipschitz và không gian tâm BMO có trọng, trong đó các hàm trọng được xét ở đây thuộc các lớp trọng lũy thừa, lớp trọng thuần nhất, lớp trọng Muckenhoupt và lớp trọng tùy ý trên trường thực, trên không gian vectơ  và trên không gian vectơ  . Các lớp toán tử này chứa đựng hoặc có mối liên hệ mật thiết với nhiều toán tử cổ điển quan trọng như toán tử Hardy, toán tử Cesàro, toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville, toán tử Hardy-Littlewood-Pólya, toán tử Hilbert, toán tử cực đại Hardy-Littlewood, toán tử tích phân kỳ dị, … . Khi các toán tử và các không gian hàm đủ tốt, chúng tôi đưa ra chuẩn chính xác của chúng.
2. Những kết quả mới của luận án:
Kết quả của luận án được tổng hợp từ 05 bài báo đã được công bố trên các tạp chí: Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications; Russian Journal of Mathematical Physics; Analysis and Mathematical Physics; Fractional Calculus and Applied Analysis; p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. Những kết quả mới này được chia thành năm phần, cụ thể như sau:
• Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính bị chặn của toán tử Hausdorff trên không gian Morrey và Morrey-Herz có trọng lũy thừa liên kết với biến đổi  Opdam-Cherednik. Hơn nữa, một vài ước lượng Lipschitz cho giao hoán tử trên các không gian loại này cũng được đưa ra.
• Giới thiệu toán tử Hausdorff tích suy rộng và nghiên cứu tính bị chặn của toán tử này trên không gian tích Morrey, Morrey-Herz hai trọng. Như một hệ quả, chúng tôi đạt được một vài kết quả về tính bị chặn của toán tử Hausdorff tích liên kết với biến đổi  Opdam-Cherednik và các công thức tường minh cho các chuẩn của toán tử trung bình Hardy-Littlewood tích có trọng và toán tử Hardy-Cesàro tích trên các không gian loại này.
• Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính bị chặn của toán tử p-adic Hausdorff  đa tuyến tính trên các không gian Morrey hai trọng và không gian Herz hai trọng. Từ đó, chúng tôi thu được ước lượng chuẩn của các toán tử p-adic Hilbert đa tuyến tính, toán tử p-adic Hardy đa tuyến tính và toán tử p-adic Hardy-Littlewood-Pólya đa tuyến tính trên không gian Herz hai trọng.
• Thiết lập các điều kiện đủ cho tính bị chặn của thế vị p-adic Riesz trên các không gian Morrey-Herz hai trọng với các hàm trọng thuộc lớp trọng lũy thừa và trọng Muckenhoupt. Hơn nữa, tính bị chặn cho các giao hoán tử của thế vị p-adic Riesz với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz và không gian tâm BMO có trọng trên không gian này cũng được đưa ra.
• Thiết lập các điều kiện đủ cho tính bị chặn của thế vị p-adic Riesz với nhân thô trên không gian Morrey và Herz hai trọng với các hàm trọng thuộc lớp trọng Muckenhoupt. Hơn nữa, tính bị chặn cho giao hoán tử của thế vị p-adic Riesz với nhân thô trên các không gian này với các biểu trưng thuộc không gian tâm BMO có trọng cũng được đưa ra.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Những kết quả của luận án có ý nghĩa khoa học và thực tiễn trong các lĩnh vực của giải tích điều hòa, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán tử, lý thuyết các không gian hàm và các ứng dụng. Dựa trên các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan có thể tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng:
• Mở rộng nghiên cứu tính bị chặn của toán tử Hausdorff liên kết với biến đổi  Opdam-Cherednik trên một số không gian hàm có trọng với lớp trọng thuần nhất, lớp trọng Muckenhoupt, và lớp trọng tùy ý, trên không gian vectơ  .
• Nghiên cứu tính bị chặn của giao hoán tử của toán tử Hausdorff tích suy rộng và của toán tử p-adic Hausdorff đa tuyến tính trên một số không gian hàm tổng quát hơn.
• Thiết lập các điều kiện cần cho tính bị chặn của thế vị p-adic Riesz và thế vị p-adic Riesz với nhân thô trên một số không gian hàm.