Bài toán ngược cho phương trình khuếch tán với đạo hàm Riesz-Feller

Tên đề tài luận án: Bài toán ngược cho phương trình khuếch tán với đạo hàm Riesz-Feller
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Đinh Nguyễn Duy Hải
Khóa đào tạo: 9/2016-9/2019
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đặng Đức Trọng
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- ĐHQG.HCM

1.   TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN:
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc không nguyên Riesz-Feller. Cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến đều được xét đến.
•   Trường hợp tuyến tính: chúng tôi nghiên cứu bài toán nguồn ngược cho trường hợp đối xứng của đạo hàm bậc không nguyên Riesz-Feller với hệ số khuếch tán dương. Chúng tôi áp dụng phương pháp chặt cụt Fourier để xây dựng bài toán xấp xỉ ổn định và chứng minh những ước lượng tối ưu trong trường hợp sai số xấu nhất của phương pháp. Những ước lượng tối ưu này không thể suy ra trực tiếp từ những kết quả của Tautenhaln. Chúng tôi cũng nghiên cứu một phương pháp tổng quát của quy luật chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm dẫn đến tốc độ hội tụ bậc tối ưu. Các ví dụ số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả lý thuyết của chúng tôi.
•   Trường hợp phi tuyến: Sử dụng một điều kiện trơn của nghiệm chính xác, chúng tôi trình bày các kết quả đánh giá hội tụ cho phương pháp chỉnh hóa phổ với hàm nguồn là Lipschitz địa phương. Trong trường hợp hàm nguồn là Lipschitz toàn cục, chúng tôi đề xuất phương pháp chỉnh hóa từng bước để làm giảm điều kiện trơn cho nghiệm chính xác. Kết quả có được đã cải thiện những kết quả liên quan trong các bài báo trước đó.
2.   NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN:
•   Chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa tối ưu để giải bài toán nguồn ngược cho trường hợp đối xứng của đạo hàm bậc không nguyên Riesz-Feller với hệ số khuếch tán dương.
•   Chúng tôi trình bày các ước lượng hội tụ trong không gian Hp khi xét các bài toán ngược cho phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc không nguyên Riesz-Feller với nguồn Lipschitz địa phương.
•   Đối với nguồn Lipschitz toàn cục, chúng tôi đưa ra phương pháp chỉnh hóa từng bước để làm giảm điều kiện trơn cho nghiệm chính.

3.   CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU
Luận án khảo sát bài toán ngược với đạo hàm bậc không nguyên Riesz-Feller. Vì vậy, luận án có tính thời sự, ý nghĩa khoa học và thực tế cao. Trên cơ sở các kết quả thu được trong luận án, chúng tôi xin nêu những vấn đề có thể nghiên cứu và phát triển tiếp như sau:
•   Nghiên cứu bài toán nguồn ngược trong trường hợp hệ số khuếch tán là một hàm số.
•   Nghiên cứu phương pháp làm giảm điều kiện trơn cho nghiệm chính xác trong trường hợp hàm nguồn là Lipschitz địa phương.
•   Nghiên cứu quy tắc chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm cho bài toán ngược phi tuyến.