Bài toán ngược cho một số hệ phương trình parabolic trong sinh học - NCS. Phan Thị Khánh Vân

Tên đề tài: Bài toán ngược cho một số hệ phương trình parabolic trong sinh học
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Phan Thị Khánh Vân
Khóa đào tạo: 2020
Người hướng dẫn khoa học:  PGS. TS. Nguyễn Đình Huy, TS. Bùi Lê Trọng Thanh
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG. TP. HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Kết quả chính của luận án được trình bày trong chương 4 như sau
- Mục 4.1: Chỉnh hóa và đánh giá sai số cho bài toán khuếch tán phi địa phương ngược thời gian.
- Mục 4.2: Bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình parabolic phản ứng - khuếch tán, với thành phần khuếch tán phi địa phương.
- Mục 4.3: Bài toán xác định dân số ban đầu của một hệ phương trình săn mồi - con mồi phi tuyến, ngược thời gian.
- Mục 4.4: Một phương pháp QR cải tiến cho bài toán giá trị cuối của mô hình nhiều loài với nhiễu trắng Gaussian.
2. Những kết quả mới của luận án:
Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín. Cụ thể, các kết quả mới gồm có
- Luận án nghiên cứu  bài toán ngược thời gian cho một số hệ phương trình phi địa phương: hệ phương trình khuếch tán, hệ phương trình phản ứng - khuếch tán, hệ phương trình phản ứng - khuếch tán với số hạng đối lưu và đưa ra các toán tử chỉnh hóa theo phương pháp tựa đảo (QR). Các bài toán thuận đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và có nhiều công trình được công bố. Tuy nhiên, các kết quả về bài toán ngược còn hạn chế.
- Ngoài việc giải quyết các bài toán liên quan đến các điều kiện cuối tất định, luận án  trình bày các kết quả liên quan đến trường hợp điều kiện cuối có xuất hiện nhiễu trắng Gaussian,  thông qua việc áp dụng phương pháp QR cải tiến. Việc xây dựng bài toán chỉnh hóa ổn định và đánh giá sai số của nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác cho bài toán này  cũng là một thách thức và đã được giải quyết.
Các kết quả trong luận án được tổng hợp từ 4 bài báo đã được công bố trên các tạp chí: Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Journal of Computational and Applied Mathematics.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi có thể mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau
- Hướng 1: Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic phi địa phương với đạo hàm cấp phân số.
- Hướng 2: Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic phi địa phương với các loại nhiễu ngẫu nhiên khác
- Hướng 3: Xây dựng nghiệm số cho bài toán chỉnh hóa dựa trên các phương pháp FEM, FVM..., khảo sát tính hội tụ của nghiệm số về nghiệm chỉnh hóa.