Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên - NCS. Trần Ngọc Thạch

Tên đề tài luận án: Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên
Ngành: Toán giải tích
Mã số Ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Ngọc Thạch
Khóa đào tạo: 2020
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn, TS. Nguyễn Minh Quân
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án
Kết quả của luận án này được tổng hợp từ bốn bài báo đã được công bố trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Asymptotic Analysis, Stochastics and Dynamics, Bulletin des Sciences Mathématiques, được chia thành bốn mục ở chương 4 như sau.
• Mục 4.1: Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với nhiễu trắng
• Mục 4.2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ
• Mục 4.3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình giả parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ
• Mục 4.4: Bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và nhiễu ngẫu nhiên
2. Những kết quả mới của luận án
Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín. Cụ thể, các kết quả mới gồm có
• Khảo sát các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán ở dạng ngẫu nhiên (thay vì tất định). Như đã biết, trong các thập kỷ gần đây, các bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán ở dạng tất định được quan tâm nghiên cứu nhiều đáng kể. Tuy nhiên, đối với trường hợp ngẫu nhiên, các kết quả vẫn còn hạn chế.
• Bên cạnh việc chỉ ra tính không chỉnh và chỉnh hóa các bài toán ngược thời gian, tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa của nghiệm cũng được thiết lập với các điều kiện đủ trơn cho dữ liệu.
• Bên cạnh trường hợp nhiễu ngẫu nhiên ở dạng Brown thông thường, luận án còn khảo sát trường hợp nhiễu ở dạng tổng quát (nhiễu Brown phân thứ). Theo chúng tôi được biết, các kết quả về loại nhiễu này, đặc biệt là trường hợp   vẫn còn rất ít.
3. Các ứng dụng/khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi có thể mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau
• Hướng 1: Khảo sát tính chỉnh / không chỉnh của các bài toán cho các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với điều kiện phi địa phương thay vì điều kiện đầu hay điều kiện cuối.
• Hướng 2: Khảo sát tính tồn tại, duy nhất, tính chính quy hóa nghiệm của các bài toán cho các phương trình ngẫu nhiên ở dạng delay, trong đó nghiệm của bài toán không chỉ phụ thuộc vào giá trị của nó tại thời điểm đầu mà còn phụ thuộc vào các giá trị tại các thời điểm trong quá  khứ.
• Hướng 3: Khảo sát các tính chất của nghiệm cho các phương trình đạo hàm riêng với nhiễu ngẫu nhiên ở dạng colored noise hay các loại nhiễu ngẫu nhiên khác.
• Hướng 4: Mở rộng kết quả lên trường hợp miền không gian là miền nhiều chiều không bị chặn.