Lý thuyết và ứng dụng của giải tích phân thứ cho hệ động lực mờ - NCS. Ngô Văn Hòa

Tên đề tài luận án: Lý thuyết và ứng dụng của giải tích phân thứ cho hệ động lực mờ
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Ngô Văn Hòa
Khóa đào tạo: 2021
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư, PGS.TS. Lý Kim Hà
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Trong luận án, chúng tôi tiến hành xây dựng lý thuyết của giải tích phân thứ mờ và nghiên cứu tính chất định tính của một số lớp phương trình vi phân và hệ động lực mờ dưới đạo hàm phân thứ. Cụ thể, luận án được chia thành bốn (04) chương chính với nội dung được tóm tắt như sau:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức làm nền tảng cho việc nghiên cứu các nội dung chính của luận án trong các chương sau.
Chương 2: Chúng tôi xây dựng cơ sở lý thuyết cho phép biến đổi Laplace phân thứ mờ nhằm sử dụng cho việc giải nghiệm phương trình vi phân mờ dưới đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát. Ngoài ra, sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm và phương pháp giải nghiệm xấp xỉ của bài toán phi tuyến cũng được trình bày.
Chương 3: Chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức của đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo tổng quát nhằm nghiên cứu tính ổn định của một vài hệ động lực mờ dưới khái niệm đạo hàm phân thứ. Công cụ chính cho việc chứng minh kết quả là lý thuyết ổn định Lyapunov.  Cụ thể, các vấn đề được nghiên cứu trong chương này bao gồm:
- Tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận của hệ động lực mờ nửa tuyến tính với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville tổng quát.
- Tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận của hệ động lực mờ nửa tuyến tính có yếu tố xung tức thời với đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát.
Ngoài ra, chúng tôi cũng tiến hành ổn định hóa các hệ trên thông qua việc đề xuất các bộ điều khiển phản hồi tuyến tính nhằm mục đích điều khiển các trạng thái không ổn định của hệ.
Chương 4: Chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức của đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát bậc ngẫu nhiên nhằm khảo sát tính ổn định của hệ động lực phân thứ mờ nửa tuyến tính với bậc ngẫu nhiên. Bài toán ổn định hóa hệ động lực dựa vào bộ điều khiển phản hồi tuyến tính cũng được trình bày. Công cụ chính cho việc chứng minh kết quả là lý thuyết ổn định Lyapunov.
2. Những kết quả mới của luận án:
Trong luận án, chúng tôi thu được các kết quả mới sau:
- Đối với phương trình vi phân mờ dưới đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát: chúng tôi chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán nửa tuyến tính thông qua việc sử dụng định lý điểm bất động Banach.  Một phương pháp mới được đề xuất để tìm nghiệm của bài toán phi tuyến. Tiếp cận này là sự kết hợp giữa phép biến đổi Laplace phân thứ tổng quát và phương pháp phân rã Adomian nhằm mang lại một nghiệm xấp xỉ của bài toán phi tuyến dưới dạng một dãy vô hạn của nghiệm các phương trình tuyến tính, và dãy này hội tụ đến nghiệm chính xác của bài toán phi tuyến.
- Đối với hệ động lực mờ dưới khái niệm đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville tổng quát và hệ động lực mờ có yếu tố xung tức thời với đạo hàm Caputo tổng quát:  chúng tôi nghiên cứu được các điều kiện đủ nhằm đảm bảo tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận của hệ. Hơn nữa, bài toán ổn định hóa của hệ trên cũng được nghiên cứu thông qua bộ điều khiển phản hồi tuyến tính.
- Đối với hệ động lực mờ dưới đạo hàm phân thứ Caputo bậc ngẫu nhiên:  chúng tôi đề xuất các điều kiện đủ nhằm đảm bảo tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận của hệ. Ngoài ra, bài toán ổn định hóa của hệ trên cũng được nghiên cứu.     
- Trong các bài toán được nghiên cứu, chúng tôi đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trên cơ sở tiếp thu các kết quả đã đạt được trong luận án, chúng tôi xin nêu những vấn đề có thể nghiên cứu và phát triển tiếp như sau:
- Phát triển lý thuyết giải tích phân thứ mờ bậc cao nhằm ứng dụng để khảo sát các lớp bài toán phương trình vi phân và hệ động lực bậc cao.
- Nghiên cứu giải tích phân thứ mờ bậc biến nhằm ứng dụng để khảo sát các hệ động lực bậc biến. Bởi vì việc ứng dụng đạo hàm bậc biến trong hệ động lực cho phép mô hình hóa và phân tích chính xác hơn các hệ thống phức tạp và không tuyến tính. Nó cung cấp một cách linh hoạt để mô phỏng và điều khiển các hệ thống có tính chất thay đổi theo thời gian, và mở rộng khả năng xử lý tín hiệu phức tạp. Các ứng dụng của đạo hàm bậc biến trong hệ động lực bao gồm điều khiển tự động và xử lý tín hiệu. Trong công việc tương lai của chúng tôi, việc khảo sát tính ổn định của hệ động lực phân thứ bậc biến có tầm quan trọng lớn trong nhiều khía cạnh.