Một số bài toán không chỉnh với đạo hàm bậc không nguyên - NCS. Trần Thị Khiếu

Tên đề tài luận án: Một số bài toán không chỉnh với đạo hàm bậc không nguyên
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Thị Khiếu
Khóa đào tạo: 2018
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Võ Hoàng Hưng, 2. PGS.TS. Lý Kim Hà
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án
Trong luận án, chúng tôi khảo sát một số bài toán ngược thời gian và không chỉnh liên quan đến phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc không nguyên. Cụ thể, luận án được chia thành năm (05) chương chính với nội dung được tóm tắt như sau:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức làm nền tảng cho việc nghiên cứu các nội dung chính của luận án trình bày trong các các chương sau.
Chương 2: Trình bày các kết quả đã đạt được cho bài toán ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp. Toán tử dạng hỗn hợp ở đây được hiểu là một sự kết hợp giữa Laplacian cổ điển và Laplacian bậc không nguyên. Đầu tiên, chúng tôi đưa ra một ví dụ minh họa cho tính không chỉnh của bài toán. Sau đó, phương pháp chỉnh hóa hàm lọc bậc không nguyên được đề xuất và áp dụng vào bài toán.  Các ước lượng hội tụ dạng Logarithm hoặc dạng Hӧlder cũng được trình bày dưới một số điều kiện tiên nghiệm.
Chương 3: Trình bày các kết quả đã đạt được cho các bài toán phi tuyến với hàm nguồn Lipschitz toàn cục. Cụ thể, các bài toán được khảo sát trong chương này bao gồm:
- Bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace bậc không nguyên;
- Bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp.
Hàm nguồn phi tuyến trong chương này được giả định thỏa tính chất Lipschitz toàn cục. Chúng tôi chứng minh tính không chỉnh của các bài toán được khảo sát. Song song với đó, chúng tôi cũng đề xuất áp dụng phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa các bài toán trên. Các ước lượng hội tụ dạng Hӧlder cũng được đưa ra.
Chương 4: Trình bày các kết quả đã đạt được cho bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp và với hàm nguồn Lipschitz địa phương. Theo đó, chúng tôi áp dụng kỹ thuật xấp xỉ bằng dãy hàm Lipschitz toàn cục và phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ.
Chương 5: Trình bày các tính toán số để minh họa cho các kết quả lý thuyết đã đạt được.
2. Những kết quả mới của luận án
Trong luận án, chúng tôi thu được các kết quả mới sau:
- Đối với bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace bậc không nguyên: Chúng tôi đưa ra một chứng minh cho tính không chỉnh của bài toán. Đồng thời, chúng tôi chỉnh hóa bài toán bằng cách áp dụng phương pháp hàm lọc và thu về các ước lượng hội tụ dạng Hӧlder.
- Đối với bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp: Chúng tôi đưa ra các chứng minh cho tính không chỉnh của bài toán trong trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Trong trường hợp tuyến tính, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm lọc bậc không nguyên để chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ phù hợp. Trong trường hợp phi tuyến, chúng tôi chỉnh hóa bài toán trong cả hai trường hợp hàm nguồn phi tuyến có tính chất Lipschitz toàn cục và hàm nguồn có tính chất Lipschitz địa phương.
- Trong các bài toán được nghiên cứu, chúng tôi đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
Các kết quả chính của luận án được tổng hợp từ 3 bài báo đã được công bố trên các tạp chí ISI có uy tín. Trong đó, có 1 bài báo công bố trên tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics, 1 bài báo công bố trên tạp chí Numerical Algorithms và 1 bài báo công bố trên tạp chí SIAM Journal on Numerical Analysis.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trên cơ sở tiếp thu các kết quả đã đạt được trong luận án, chúng tôi xin nêu những vấn đề có thể nghiên cứu và phát triển tiếp như sau:
- Khảo sát bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp.
- Nghiên cứu tính chính quy (regularity) của bài toán liên quan đến phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp.
- Nghiên cứu áp dụng phương pháp chỉnh hóa từng khúc (stepwise regularization method) được đề xuất gần đây để áp dụng vào bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp nhằm làm giảm nhẹ các điều kiện tiên nghiệm.