Một số bài toán không chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên - NCS. Nguyễn Đức Phương

Tên đề tài luận án: Một số bài toán không chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Đức Phương
Khóa đào tạo: 2019
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Anh Triết; TS. Ông Thanh Hải
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP. HCM
1. Tóm tắt luận án
Luận án trình bài kết quả chỉnh hóa nghiệm của 4 bài toán cụ thể sau:
Bài toán 1. Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình Parabolic Kirchhoff với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.
Bài toán 2. Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.
Bài toán 3. Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị đầu cho phương trình sóng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên với dữ nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.
Bài toán 4. Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối giả Parabolic Kirchhoff với dữ liệu đầu vào được quan sát bị nhiễu tuân theo qui luật Gaussian white noise.
2. Những kết quả mới của luận án
Luận án chứa đựng một số kết quả mới và được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín. Trong luận án này, chúng tôi đưa ra các kết quả mới sau:
• Chỉ ra sự không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier kết hợp ước lượng phi tham số chỉnh hóa nghiệm cho phương trình, hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với dữ liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.
• Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sóng đạo hàm cấp không nguyên  dữ liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc là không chỉnh. Chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier và ước lượng phi tham số hàm giá trị đầu vào để chỉnh hóa nghiệm. Các đánh giá sự hội tụ được thực hiện trên cả không gian  và  .
• Bài toán giá trị cuối cho phương trình giả Parabolic Kirchhoff với dữ liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên Gaussian white noise là không chỉnh. Bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier chúng tôi đề xuất nghiệm chỉnh hóa cho bài toán và đánh giá sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm mild.
Các kết quả này được tổng hợp từ 6 bài báo đã được công bố trên các tạp chí: Computers and Mathematics with Applications (ISI-Q1), International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation (ISI-Q2), Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI-Q1), Applied Mathematics and Computation (ISI-Q2), Proceedings of the American Mathematical Society (ISI-Q1) và Chaos, Solitons and Fractals (ISI-Q1).
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau:
• Nghiên cứu ứng dụng của phương trình khuếch tán trong các lĩnh vục kỹ thuật, đặc biệt trong xử lý ảnh.
• Nghiên cứu các các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với các đạo hàm không nguyên.
• Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui hóa nghiệm cho các bài toán giá trị biên, giá trị đầu, giá trị cuối, điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian.
• Nghiên cứu bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng đạo hàm cấp không nguyên theo nghĩa khác như: Conformable, Riemann - Liouville, Atangana - Baleanu, . . . với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên.