Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên - NCS. Trần Bảo Ngọc

Tên đề tài luận án: Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên 
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Bảo Ngọc
Khóa đào tạo: 2018
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn   
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án 
Kết quả của luận án này được tổng hợp từ 3 bài báo đã công bố trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications,   Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, và được chia thành 3 chương chính sau đây
- Chương 1: Bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Bài toán này được chỉ ra không chỉnh theo nghĩa Hadamard, và được đề xuất chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt Fourier. Kết quả chính của chương này là đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác trong  
- Chương 2: Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán trong không gian   thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii.   
- Chương 3: Bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân trong không gian tích  . Hơn nữa, việc áp dụng kết quả chính thu được sự tồn tại nghiệm tích phân của một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp không nguyên. 
2. Những kết quả mới của luận án 
Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có, và được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới. Luận án này đưa ra các kết quả mới sau:  
- Chỉ ra sự không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Như đã biết, các bài toán không chỉnh chứa hàm nguồn phi tuyến luôn là các bài toán hóc búa và khó xử lý.
- Xây dựng các tính chất compact trong không gian  , và thiết lập sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán điều kiện cuối phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii. 
- Thiết lập được sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trong trường hợp   Giải quyết một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra tương ứng.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau  
- Hướng 1: Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui hóa nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian.
- Hướng 2: Khảo sát sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính chất tắt dần, bùng nổ... của nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian.
- Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu trên cho các loại đạo hàm cấp không nguyên có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Ngoài ra, khảo sát thêm các bài toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề của luận án.
- Hướng 4: Nghiên cứu các hướng 1 và 2 ở trên cho các phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên.