Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia - NCS. Lê Quí Danh

Tên đề tài: Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số ngành: 9460104
Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Quí Danh
Khoá đào tạo: 2020
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Mai Hoàng Biên
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
1.  Tóm tắt nội dung luận án
Chúng tôi nghiên cứu các tính chất của nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL_n (D) bậc n≥1 trên vành chia D, gồm ba nội dung chính: nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc trong GL_n (D); nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc của GL_n (D); mô tả đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Γ_q (GL_n (D)).
2.  Những kết quả mới của luận án
Cho D là vành chia với tâm F và n là số nguyên dương.
a. Sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc trong GL_n (D)
Nếu G=H^* hoặc G=GL_n (D) với n≥2 thì mọi nhóm con tựa chuẩn tắc của G đều chuẩn tắc.
Tồn tại vành chia sao cho nhóm nhân của nó có nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc.
b. Sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc trong GL_n (D)
Cho N là nhóm con tựa chuẩn tắc của D^*. Nếu N chứa nhóm con giải được không giao hoán thì N chứa nhóm con tự do không giao hoán.
Cho N là nhóm con tựa chuẩn tắc của D^*. Giả sử D thoả mãn một trong các điều kiện: (i) D là vành chia hữu hạn địa phương yếu, (ii) Tâm F của D không đếm được, (iii) D là vành chia Mal’cev-Neumann. Nếu N căn trên vành chia con thực sự của D thì N⊆F.
c. Đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Γ_q (GL_n (D))
Với G là nhóm không đơn bất kỳ, đường kính của đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Γ_q (G) của G là 0, 1, 2 hoặc ∞.
Phân loại các nhóm GL_n (D) với n≥2 theo đường kính của Γ_q (GL_n (D)).
3.  Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Tiếp tục nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia.
Nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn cho nhóm nhân của các đại số khác, chẳng hạn đại số nhóm.