Tác động của đồng nhất thức suy rộng và đồ thị lên cấu trúc của nhóm tuyến tính trên vành chia - NCS. Cao Minh Nam

Tên đề tài: Tác động của đồng nhất thức suy rộng và đồ thị lên cấu trúc của nhóm tuyến tính trên vành chia
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số ngành: 9460104
Họ tên nghiên cứu sinh: Cao Minh Nam
Khóa đào tạo: 2020
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Bùi Xuân Hải
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Luận án chủ yếu nghiên cứu hai vấn đề chính như sau:
Tác động của một số đồng nhất thức nhóm lên cấu trúc của một số nhóm con của nhóm nhân của một đại số.
Khảo sát tính liên thông và ước lượng đường kính của một số đồ thị giao hoán liên kết với vành ma trận trên vành chia.
2. Những kết quả mới của luận án:
Dựa trên nội dung của luận án, chúng tôi chia các kết quả chính thành các nhóm như sau:
Các kết quả về sự tồn tại của các nhóm con tự do không cyclic:
Cho F là một trường không hữu hạn địa phương, R là một F-đại số hữu hạn chiều và N là một nhóm con gần á chuẩn tắc của R^*. Nếu N thoả một GPCGI chặt trên R^* thì N^'=[N,N]⊆1+J(R). Hơn nữa, nếu F có đặc trưng p>0 thì (xyx^(-1) y^(-1) )^(p^s )=1 là một GI của N với s là số nguyên dương nào đó.
Cho F là một trường, G là một nhóm hữu hạn địa phương và F^σ G là đại số nhóm lệch của G trên F ứng với một đồng cấu nhóm σ:G⟶Aut (F). Nếu F có đặc trưng 0 thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc không aben của (F^σ G)^* đều chứa một nhóm con tự do không cyclic.
Các kết quả về các nhóm tự đẳng cấu thoả các GGI:
Cho D là một vành chia tâm F, V là một không gian vectơ phải trên D và w(x_1,x_2…,x_m) là một đơn thức nhóm suy rộng trên Aut_D V. Nếu Aut_D V thoả đồng nhất thức nhóm suy rộng w=1 và F chứa ít nhất 2l(w)+1 phần tử thì dim_D⁡V=1 và D là trường.
Cho D là một vành chia tâm F, V là một không gian vectơ phải trên D có số chiều n≥2 và N là một nhóm con á chuẩn tắc của Aut_D V. Cho w(x_1,x_2,…,x_m) là một đơn thức nhóm suy rộng trên Aut_D V. Nếu N thoả đồng nhất thức nhóm suy rộng w=1 và F chứa ít nhất 4l(w)+2 phần tử thì N nằm trong tâm của Aut_D V.
-Các kết quả về đồ thị giao hoán liên kết với vành ma trận:
Nếu D là một đại số chia đại số trên một trường đóng thực F và n≥3 thì đồ thị Γ(M_n (D)) liên thông và diam(Γ(M_n (D)))≤4.
Cho F  là một trường đóng thực, n≥2 và a,b∈F∖{0}. Khi đó, đồ thị Γ(M_n (H_F (a,b))) liên thông và diam(Γ(M_n (H_F (a,b)))≤4.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
- Các nhóm con gần á chuẩn tắc không nằm trong tâm của nhóm Aut_D V có chứa nhóm con tự do không cyclic nào không?
- Đồ thị giao hoán liên kết với vành ma trận trên một vành chia đại số trên tâm có liên thông hay không? Đường kính của đồ thị này được đánh giá như thế nào trong trường hợp đồ thị liên thông?