Tên đề tài luận án: Tính đa tách biến của bài toán MICZ-Kepler chín chiều dưới góc nhìn giải tích và đại số
Ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số ngành: 62440103
Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Đại Nam
Khóa đào tạo: 2015
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Văn Hoàng
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án
Bài toán MICZ-Kepler chín chiều mô tả chuyển động trong không gian Euclidean chín chiều của điện tích thử quay một dyon thông qua tương tác Coulomb và tương tác “isospin” của đơn cực từ SO(8). Luận án khảo sát vấn đề liên quan đến tính đa tách biến của bài toán MICZ-Kepler chín chiều dưới góc nhìn giải tích và đại số.
Nội dung tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
- Đưa ra bức tranh tổng quát về mối liên hệ giữa bài toán MICZ-Kepler nhiều chiều với các đối tượng khác nhau trong toán học và vật lý. Đây là một kết quả cần thiết và quan trọng cho những nghiên cứu sau này về bài toán MICZ-Kepler nhiều chiều và giúp cộng đồng có một cái nhìn tổng quan hơn về một bài toán có vẻ rất trừu tượng này.
- Khảo sát tính đa tách biến của bài toán MICZ-Kepler dưới khía cạnh giải tích. Việc tách biến và tìm lời giải chính xác cho hàm sóng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều trong các hệ tọa độ khác nhau, cụ thể là: tọa độ cầu, parabolic và phỏng cầu dài.
- Khảo sát tính đa tách biến của bài toán MICZ-Kepler dưới khía cạnh đại số. Các đại lượng bảo toàn cụ thể của bài toán đối với các bộ hàm sóng cơ sở khác nhau cần được xác định. Từ đó, mối liên hệ giữa các bộ hàm sóng cơ sở đã được xây dựng được tìm ra bằng phương pháp đại số.
2. Những kết quả mới của luận án
- Đưa ra bức tranh tổng quan về mối liên hệ giữa Bài toán MICZ-Kepler với các khía cạnh khác nhau như: đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf, phép biến đổi Hurwitz, đơn cục từ, hiệu ứng Hall lượng tử, đối ngẫu giữa bài toán dao động tử điều hòa và bài toán Kepler Coulomb, vật lý hai thời gian, v.v.v. Việc đặt bài toán MICZ-Kepler nhiều chiều vào bức tranh chung của những đối tượng toán học và vật lý nói trên giúp chúng ta có được những cái nhìn sâu sắc hơn về tương tác giữa điện tích và đơn cực từ trong bài toán MICZ-Kepler nhiền chiều. Đồng thời, chúng tôi đã trình bày sơ lược các kết quả đã được nghiên cứu về bài toán này, cụ thể là tính đối xứng và tính siêu khả tích của bài toán này. Kết quả của này đã được công bố dưới dạng một bài báo tổng quan (Review paper) trên tạp chí Communications in Physics (DOI: 10.15625/0868-3166/15905). Ngoài ra, đề xuất về khả năng sử dụng đại số chia chuẩn hóa octonion để biểu diễn bài toán 9D MICZ-KP cũng đã được chúng tôi báo cáo trong Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 41, năm 2016.
- Xây dựng lời giải giải tích tường minh của bài toán MICZ-Kepler chín chiều trong các tọa độ parabolic và tọa độ phỏng cầu dài: tách biến phương trình Schrodinger và đưa ra lời giải cho hàm sóng cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều trong các tọa độ parabolic và phỏng cầu dài, tìm mối quan hệ giữa bộ hàm sóng cơ sở trong tọa độ phỏng cầu dài với các bộ hàm sóng cơ sở parabolic và cầu cũng thông qua các hệ thức giới hạn của đa thức Heun hợp lưu và xác định phép biến đổi giữa bộ hàm sóng cơ sở trong tọa độ parabolic và tọa độ cầu bằng cách tính trực tiếp các tích phân giữa hàm sóng cơ sở trong hai hệ tọa độ trên. Kết quả này đã được công bố trên tạp chí Journal of Mathematical Physics vào năm 2019 (DOI: 10.1063/1.5051787).
- Xây dựng được các tích phân chuyển động bảo toàn tương ứng với các bộ hàm sóng cơ sở: xây dựng tường minh 3 bộ tích phân chuyển động trong 3 bộ hàm sóng cơ sở là cầu, parabolic và phỏng cầu dài. Ba bộ tích phân chuyển động trên chỉ khác nhau ở đại lượng bào toàn thứ 9: đó là toán tử xung lượng mở rộng, hình chiếu của vector Laplace-Runge-Lenz, hay tổ hợp giữa hai lựa chọn trên tương ứng với các bộ cơ sở trong tọa độ cầu, parabolic và phỏng cầu dài. Phép chuyển cơ sở giữa hai bộ hàm cơ sở trong tọa độ cầu và tọa độ phỏng cầu dài được xây dựng bằng cách sử dụng cấu trúc đại số ẩn dưới các bộ hàm cơ sở trên. Điều này tương đương với một cách tiếp cận đại số nhằm tính một tích phân chín lớp phức tạp giữa các hàm Heun hợp lưu, đa thức Laguerre liên kết và đa thức Jacobi mở rộng. Kết quả này đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 44, năm 2019 và được gửi đăng lên tạp chí Journal of Mathematical Physics. Bản thảo cũng được công bố toàn văn trên Arxiv: https://arxiv.org/abs/2106.02313.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Bài toán MICZ-Kepler chin chiều có liên hệ mật thiết với nhiều đối tượng toán học và vật lý khác nhau. Vì lẽ đó, nghiên cứu về các mặt khác nhau của bài toán MICZ-Kepler chin chiều chính là việc khảo sát tường minh các đối tượng toán học như đại số chia chuẩn hoá, phân thớ Hopf, phép biến đổi Hurwitz, v.v.v trên một bài toán vật lý cụ thể. Những nghiên cứu này không những có thể gián tiếp ứng dụng trong vật lý toán mà còn trong các lĩnh vực vật lý khác như vật lý năng lượng cao hay vật lý chất ngưng tụ.
Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án này, một số khía cạnh khác của bài toán MICZ-Kepler chín chiều mà chúng tôi muốn tiếp tục phát triển để khảo sát đầy đủ hơn bài toán này dưới nhiều góc nhìn khác nhau như: tính chất siêu đối xứng của bài toán; Hàm Green của bài toán MICZ-Kepler chín chiều; lời giải đại số trực tiếp dựa vào đối xứng động lực SO(10,2) và vật lý hai thời gian; lời giải đại số bằng cách sử dụng các toán tử bất biến Casimir của nhóm SO(10) và biểu diễn octonion hoàn chỉnh cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều.
Hãy là người bình luận đầu tiên