Các kết quả dạng Farkas cho các hệ hàm vectơ và ứng dụng - NCS. Đặng Hải Long

Tên đề tài luận án: Các kết quả dạng Farkas cho các hệ hàm vectơ và ứng dụng
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số ngành: 62460112
Họ tên nghiên cứu sinh: Đặng Hải Long
Khóa đào tạo: 2016-2019
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Định
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHG.HCM
1. Tóm tắt luận án 
Bổ đề Farkas là một công cụ toán học cơ bản được đề xuất bởi nhà vật lí và toán học Hungary Gyulia Farkas vào năm 1892. Từ dạng ban đầu cho hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính, bổ đề Farkas không ngừng được mở rộng và ngày càng được áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác như tài chính, kinh tế, ... Luận án này tập trung vào việc thiết lập các dạng mở rộng của bổ đề Farkas cho hệ xác định bởi các hàm vectơ (gọi là bổ đề Farkas vectơ) và áp dụng các kết quả này để xây dựng các điều kiện tối ưu và đối ngẫu mạnh cho các lớp bài toán tối ưu vectơ khác nhau.
2. Những kết quả mới của luận án 
- Chúng tôi thiết lập các bổ đề Farkas vectơ dạng tường minh và sử dụng chúng để xây dựng các điều kiện tối ưu và các kết quả đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vectơ.
- Chúng tôi đề xuất hai nguyên lí về bổ đề Farkas vectơ cho hệ liên quan đến hàm hợp và về đối ngẫu mạnh ổn định cho bài toán tối ưu vectơ hàm hợp trong trường hợp tổng quát và trong trường hợp lồi.
- Chúng tôi thiết lập các bổ đề Farkas vectơ vững (robust) cho hệ các “bất đẳng thức vectơ” có yếu tố không chắc chắn (trong trường hợp tổng quát và trong trường hợp lồi). Các kết quả này sau đó được sử dụng để xây dưng các kết quả đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vững.
- Chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận thống nhất để thiết lập các kết quả đối ngẫu mạnh cho bài toán tối ưu vô hạn vững (robust optimization infinite problem) với nhiều dạng bài toán đối ngẫu khác nhau.
- Chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận tính “yên tĩnh” (calmness) của hệ bất phương trình tuyến tính được tham số hóa ở vế phải bằng cách sử dụng bổ đề Farkas.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Vẫn còn nhiều điều có liên quan đến đề tài của luận án mà tác giả nghĩ có thể trở thành những vấn đề thú vị cho nghiên cứu của mình trong tương lai, chẳng hạn, cách tiếp cận sử dụng hàm nhiễu (đã được vận dụng thành công cho trường hợp hàm vô hướng) có nhiều khả năng có thể mở rộng cho cho các “bất đẳng thức vectơ”. Việc này nếu thành công sẽ tạo ra một công cụ có giá trị cho phép nghiên cứu nhiều lớp bài toán tối ưu vectơ.