Một số bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến - NCS. Võ Văn Âu

Tên đề tài luận án: Một số bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 62460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Võ Văn Âu
Khóa đào tạo: Khoá 26 (09/2016 – 09/2019)
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày ba chủ đề chính về bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến.
Chủ đề 1, xét bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số hằng.
Chủ đề 2, xét bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi địa phương.
Chủ đề 3, xét bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi tuyến.
Các phương pháp chỉnh hóa được sử dụng là: phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier mới, phương pháp Quasi-reversibility (QR), phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh.
Luận án được chia làm 04 chương.
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, giải tích thực, khái niệm bài
toán không chỉnh, vấn đề chỉnh hóa và một số kết quả cần biết.
Chương 2: Trình bày bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số hằng trong không gian Hilbert.
Áp dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier mới để chỉnh hóa bài toán (1). Mục đích của chúng tôi là giảm đi các điều kiện của nghiệm chính xác và hệ số Lipschitz so với các kết quả trước đó.
Chương 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến với hệ số phi địa phương. Chương này, xét hàm nguồn F thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương.
Chương 4: Nội dung chương này trình bày phương pháp chỉnh hóa Quasi-reversibility có điều chỉnh để thiết lập sai số hội tụ. Chúng tôi cũng xét hàm nguồn F thỏa cả hai điều kiện Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương.
2. Những kết quả mới của luận án
Luận án đạt những kết quả mới sau:
- Xét các trường hợp của hệ số khuếch tán: hằng số, phi địa phương, phi tuyến.
- Hàm nguồn phi tuyến thoả điều kiện Lipschitz toàn cục và Lipschitz  địa phương.
Kết quả chính của luận án đã được công bố trên 05 bài báo quốc tế (SCI): Acta Applicandae Mathematicae (SCI, Q2), Journal of Mathematical Analysis and Applications,  (SCI, Q1), Inverse Problems, (SCI, Q1), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, (SCI, Q1), SIAM Journal on Mathematical Analysis, (SCI, Q1).
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong thời gian tới chúng tôi sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm riêng.
2. Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có yếu tố ngẫu nhiên.
3. Nghiên cứu các bài toán phương trình đạo hàm riêng với một số loại đạo hàm cấp không nguyên khác nhau.