Một số vấn đề của phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương - NCS. Trà Quốc Khanh

Tên đề tài luận án: Một số vấn đề của phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 62460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Trà Quốc Khanh
Khóa đào tạo: 2017
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Võ Hoàng Hưng; 2. TS. Vũ Đỗ Huy Cường
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM 
1. Tóm tắt luận án 
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số bài toán ngược liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương và không địa phương. Cụ thể, các bài toán được nghiên cứu trong luận án bao gồm:
- Đối với phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán địa phương, chúng tôi nghiên cứu hai bài toán sau đây:
+ Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian tuyến tính đối xứng trên đĩa tròn; và,
+ Bài toán truyền nhiệt ngược thời gian phi tuyến đối xứng trên hình cầu.
- Đối với phương trình phản ứng khuếch tán với dạng khuếch tán không địa phương, chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương.
Trên cơ sở này, luận án được chia thành bốn (04) chương chính với nội dung được tóm tắt như sau:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức làm nền tảng cho việc nghiên cứu các nội dung chính của luận án trình bày trong các các chương sau.
Chương 2: Trình bày các kết quả đã đạt được cho bài toán truyền nhiệt ngược thời gian tuyến tính đối xứng trên đĩa tròn. Trong đó, chúng tôi đưa ra ví dụ để minh họa cho tính không chỉnh của bài toán và áp dụng phương pháp tựa giá trị biên để chỉnh hóa bài toán. Kết quả chính của chương này là các ước lượng hội tụ và các thử nghiệm số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
Chương 3: Trình bày các kết quả đã đạt được cho bài toán truyền nhiệt ngược thời gian phi tuyến đối xứng trên hình cầu. Trong chương này, đầu tiên, chúng tôi chứng minh tính không chỉnh của bài toán. Sau đó, chúng tôi áp dụng phương pháp phương trình tích phân để chỉnh hóa bài toán và đưa ra các ước lượng hội tụ dạng Hölder. Một thử nghiệm số để minh họa cho các kết quả lý thuyết cũng được đưa ra.
Chương 4: Trình bày các kết quả đã đạt được cho bài toán ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương. Cụ thể, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau:
- Đưa ra ví dụ để minh họa cho tính không chỉnh của bài toán, áp dụng phương pháp Fourier để chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ dạng Hölder.
- Đưa ra một số kết quả về sự hội tụ của nghiệm trong không gian
- Trình bày một số thử nghiệm số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.    
2. Những kết quả mới của luận án 
Trong luận án, chúng tôi thu được các kết quả mới sau:
- Đối với phương trình phản ứng khuếch tán địa phương: Chúng tôi đưa ra các ví dụ để minh họa cho tính không chỉnh của các bài toán truyền nhiệt ngược thời gian đối xứng trên đĩa tròn và trên hình cầu. Chúng tôi chỉnh hóa các bài toán này bằng cách áp dụng phù hợp các phương pháp tựa giá trị biên và phương pháp phương trình tích phân để thu về các ước lượng hội tụ dạng Hölder.  
- Đối với phương trình phản ứng khuếch tán không địa phương: Chúng tôi chỉ ra tính không chỉnh của bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương, áp dụng phương pháp Fourier để chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ dạng Hölder. Một số kết quả về sự hội tụ của nghiệm trong không gian cũng được đưa ra bằng cách áp dụng thích hợp Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue và Định lý Lagrange.
Các kết quả chính của luận án được tổng hợp từ 3 bài báo đã được công bố trên các tạp chí ISI có uy tín. Trong đó, có 2 bài báo công bố trên tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics và 1 bài báo công bố trên tạp chí Journal of Fixed Point Theory and Applications. 
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trên cơ sở tiếp thu các kết quả đã đạt được trong luận án, chúng tôi xin nêu những vấn đề có thể nghiên cứu và phát triển tiếp như sau:
- Nghiên cứu bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace không địa phương trong trường hợp đạo hàm theo biến thời gian là đạo hàm bậc không nguyên theo nghĩa Caputo.
- Nghiên cứu đưa ra các ước lượng sai số tối ưu cho các phương pháp chỉnh hóa áp dụng vào các bài toán được nghiên cứu trong luận án.
- Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các bài toán được nghiên cứu trong luận án.